Schauder　估计建立了一类偏微分方程解的唯一性和光滑性,　是偏微分方程理论中的基本工具.　一般来说,　Schauder　估计描述的是,　方程系数和非齐次项的　H¨older　连续性蕴含着解及其导数的　H¨older　连续性.

本文致力于研究椭圆方程和抛物方程的　Schauder　估计.　我们分别给出散度形式椭
圆方程,　非散度形式椭圆方程和散度形式抛物方程的　??1,??,　??2,??　和　??1+??,　1+??2　估计的新的证明.　另外,　我们得到楔形域上线性抛物方程的　??2+??,1+　??2　估计.　最后,我们对一类具有几何直观的区域给出了　Wiener　准则的刻画.

本文由五部分组成.

第一部分,　我们给出散度形式椭圆方程的内部和边界　??1,??　Schauder　估计的一个新
的证明.　我们利用扰动技巧来建立内部和边界的　??1,??　估计.　我们用一列辅助函数在不
同尺度下逼近解,　然后利用极大值原理估计这些辅助函数和解之间的误差.　另外,　我们
也给出弱解的内部和边界　??1,??　估计的一个新证明.　在不要求　??　是??1　的条件下我们用
能量估计直接推导出　Schauder　估计.　我们的证明是初等而简单的.　进一步,　我们的证明
允许方程的右端项是　Dini　连读的,　而且给出了一阶导数连续模的一个最优估计.

第二部分,　我们同样利用扰动技巧给出非散度形式椭圆方程的内部和边界　??2,??　Schauder　估计的一个新的证明.　我们用一列调和的辅助函数在不用尺度下逼近解,　然
后利用极大值原理来估计这些调和的辅助函数和解之间的误差.　进而我们得到解的二阶导数的显式估计.

第三部分,　我们对散度形式抛物方程的内部　??1+??,　1+??2　Schauder　估计提出一个新的
证明,　这里使用的技巧与椭圆情形时类似.　我们用一列满足热方程的辅助函数在不用尺度下逼近解,　然后利用抛物方程的极大值原理估计这些辅助函数和解之间的误差.　我们还得到解关于空间变量的一阶导数的显式估.

第四部分,　我们探索空间维数为一的楔形域上线性抛物方程的　??2+??,1+　??2　Schauder
估计.　要证明楔形域上线性抛物方程的　Schauder　估计,　我们在原点附近应用标准的Schauder　估计来建立　??2+??,1+　??2　估计.　证明分为三步.　第一步,　我们做了一个标准的简化和归一化.　第二步,　证明　??　的低频部分　??　是　??2+??,1+　??2　的,　并且　??　−　??　适当小.　最后一步,　证明　??　的高频部分　??˜　=　??　−　??　是　??2+??,1+　??2　的.　我们研究了更一般的楔形域.　例如下面这种有趣的情形,　??1(??)　=　±????1,　??2(??)　=　±????2,　对任意的　0　＜　??1,　??2　＜　∞.　进一步,我们应用定理3.1解决了一些有意思的问题,　而且给出反例来说明我们的结果是最优的,并且条件(H1)-(H4)是本质的.

第五部分,　对于高维情况下(??　≥　4),　令　Ω　⊂　????　为有界区域.　设　Ω　在边界点　??0　处满足外刺条件.　利用　Wiener　准则,　我们给出该外刺所要满足的条件以保证　Laplace　方程解到　??0　处的连续性.