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为解决CycleGAN算法图像风格化质量不高、网络稳定性不强的问题,提出了CycleGAN-SN算法。在CycleGAN算法判别网络的每一个卷积层后添加谱归一化层,通过幂迭代法估算卷积层参数矩阵的谱范数,采用随机梯度下降法更新卷积层参数。由于参数在每一次更新中的变化量很小,只需迭代一次即可快速估算出矩阵的最大奇异值。根据得到的最大奇异值,对卷积层参数进行归一化处理,使得整个判别网络满足1-Lipschitz连续。在4个常用风格图像数据集上进行实验,并与CycleGAN算法进行对比,结果表明:所提算法能够在保留原有图像细节的基础上,生成色彩鲜艳、纹理清晰、风格渲染充分的风格化图像;在训练过程中的损失函数振荡幅度小,能够使用更大的学习率进行训练,稳定性较强;能够有效减少网络收敛所需的步数,收敛速度较快;在测试阶段一次性风格化751幅图像时,时间最多仅增加0.63 s,几乎没有额外的时间消耗。

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CycleGAN 谱归一化 图像风格化

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为解决CycleGAN算法图像风格化质量不高、网络稳定性不强的问题,提出了CycleGANSN算法。在CycleGAN算法判别网络的每一个卷积层后添加谱归一化层,通过幂迭代法估算卷积层参数矩阵的谱范数,采用随机梯度下降法更新卷积层参数。由于参数在每一次更新中的变化量很小,只需迭代一次即可快速估算出矩阵的最大奇异值。根据得到的最大奇异值,对卷积层参数进行归一化处理,使得整个判别网络满足1-Lipschitz连续。在4个常用风格图像数据集上进行实验,并与CycleGAN算法进行对比,结果表明:所提算法能够在保留原有图像细节的基础上,生成色彩鲜艳、纹理清晰、风格渲染充分的风格化图像;在训练过程中的损...

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CycleGAN 谱归一化 图像风格化

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多阶段随机规划可恰当描述不确定环境下的复杂长期决策问题.本文研究带有二次目标函数的多阶段随机规划问题在随机过程扰动下的定量稳定性,推广了现有线性目标函数情形下的结果.为此,我们首先根据参数规划的相关理论导出了可行解的上界.为了得到补偿函数的Lipschitz连续性,我们假设了Fortet-Mourier度量下随机过程各阶段条件分布下的连续性.在这些准备工作的基础上,我们最终建立了最优值函数的Lipschitz连续性结论.我们的定量稳定性结果推广了已有的线性结果,并不依赖于多阶段随机规划稳定性分析中难以计算的滤波距离.

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Lipschitz连续性 定量稳定性 多阶段随机规划 二次目标函数

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多阶段随机规划可恰当描述不确定环境下的复杂长期决策问题.本文研究带有二次目标函数的多阶段随机规划问题在随机过程扰动下的定量稳定性,推广了现有线性目标函数情形下的结果.为此,我们首先根据参数规划的相关理论导出了可行解的上界.为了得到补偿函数的Lipschitz连续性,我们假设了Fortet-Mourier度量下随机过程各阶段条件分布下的连续性.在这些准备工作的基础上,我们最终建立了最优值函数的Lipschitz连续性结论.我们的定量稳定性结果推广了已有的线性结果,并不依赖于多阶段随机规划稳定性分析中难以计算的滤波距离.

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LIPSCHITZ连续性 定量稳定性 多阶段随机规划 二次目标函数

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本文主要讨论了外区域的p-Laplace型自由边界在无穷远处的渐近行为。 首先我们给出自由边界问题的概念，描述了两类研究较多的问题——单（二）相自由边界问题和障碍型自由边界问题，介绍了由单相自由边界问题演化而来的p-Laplace型单相自由边界问题，同时给出了一些自由边界问题中自由边界正则性的研究成果以及暂未解决的问题。 其次我们提出p-Laplace型单相自由边界问题及其相关性质，包括解的存在性，Lipschitz连续性以及非退化性，类似于经典的情形，推导出其解所满足的自由边界条件。 最后我们提出本文主要研究的问题，研究了在二维情形下外区域的p-Laplace型单相自由边界问题的解在无穷远处的行为。在我们的研究过程中，我们假设了自由边界可以表示成一光滑函数的图像，以及通过简单变换，将其等价地转化为全空间上的自由边界问题以方便研究。针对等价问题的解，我们证明了解的Lipschitz 连续性和自由边界附近的非退化性，给出了变分解的概念，并构造了适合p-Laplace型自由边界问题的单调公式。结合单调公式，利用Blow-down技术证明了解u的Blow-down极限的一次齐次性，进而证明了它在二维情形下是半空间解。根据Blow-down 极限的这一性质，刻化了解在无穷远处的性质，即其自由边界在无穷远处是渐近平坦的，得到了我们的主要结果。

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p-Laplace 单相自由边界 偏微分方程 外区域 无穷远

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本文主要讨论了外区域的单相自由边界问题的整体渐近性质，其中外区域的边界紧包含于正相部分，且自由边界为光滑函数的图像。我们将自由边界问题研究的部分经典工具（如blow-down技术，Weiss单调公式）作了相应的修改并应用于此情形，得到了关于全局渐近性的一些结果。 第二章介绍了单相自由边界问题，包括它的导出、一些已知结果以及相关经典工具。此章中还讨论了单相自由边界问题的解的局部正则性和全局渐近性质。 第三章研究了R^n(n>=2)中的单相自由边界问题的外区域问题。事实上，在此章中主要考虑了外区域的边界紧包含于正相部分的情况。为了方便讨论，假设自由边界为光滑函数图像；为了方便计算，本文中主要对问题的等价形式进行证明。在此章中证明了外问题的解的一些线性增长性的结果，即，它是 Lipschitz 连续且非退化的。我们对Weiss单调公式添加了额外项，从而保证了它的单调性依然在大范围内成立。然后，刻画了u的blow-down极限的性质，证明了它是一次齐次的变分解。 第四章主要研究了平面上的情形，并证明了blow-down极限是半平面解。因此u在子列意义下是渐近平坦的。 第五章对全文内容进行了总结，并提到了下一步可以考虑的一些问题。

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单相自由边界问题 渐近性质 偏微分方程 外区域问题 自由边界问题

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近几十年来, 随着科学技术的发展, 信号表示方法受到人们的广泛关注. 多尺度和 多方向上信号表示方法的发展, 例如: 小波、脊波、曲波和轮廓波等变换, 有效地激励 了信号表示的方法和理论方面的研究. 其中, 小波作为一项广泛而又多样化的应用技 术, 能够为信号提供一个灵活的表示, 从而成为研究的热点问题之一. 为了克服小波自 身不满足平移不变性的缺点, 2012 年, Mallat 在小波变换的基础上构造出了群不变散 射变换, 它通过迭代一系列的小波变换和系数算子来实现. 相比于小波变换, 散射变换 能够为信号提供一种稳定的、信息量丰富的表示. 本文从理论和应用两个方面对散射变换进行了系统的研究. 我们的工作主要集中 在群不变散射变换、期望散射变换、平均散射变换和Haar 散射变换上, 可分为以下四 个方面: 1. 研究了期望散射变换和平均散射变换的Lipschitz 连续性和平移不变性. 这些性 质在理论上支持了期望散射和平均散射是平移不变的、稳定的和富含信息的表示. 另 外, 分别基于期望散射变换和平均散射变换提出新的特征提取方法, 即期望散射能量特 征(ESEFs) 和平均散射能量特征(ASEFs), 并把这些特征应用于纹理分类任务中. 实 验结果表明, 从第七个特征开始, 新的特征提取方法在纹理分类中有着较好的表现. 2. 证明了Haar 散射变换满足平移不变性和Lipschitz 连续性, 这些性质为Haar 散 射变换的实际应用提供了理论方面的保证. 另外, 针对纹理分类问题, 我们基于Haar 散射变换在不同的数据集上进行了广泛的实验. 实验结果表明, Haar 散射的表示系数 包含了丰富的识别信息并且能够抓住不变特征, 在纹理分类任务中可获得好的表现. 就Haar 散射变换而言, 另一个创新是把Haar 散射变换推广应用到多模态学习任 务上, 提出了多模态Haar 散射学习. 分别在多模态数据集和多模态特征上进行了多模 态Haar 散射学习的实验. 实验结果表明: 多模态Haar 散射学习能够明显改善单模态 特征在分类任务中的表现. 本文的实验为多模态Haar 散射学习提供了经验性的证据. 3. 在群不变散射变换的基础上提出一种新的有效的以能量和标准差为特征的散射 统计特征(SSFs). 然后, 我们分别从原始图像和散射变换分解原始图像的子带上计算 出散射统计特征, 再把散射统计特征与模糊逻辑分类器相结合, 并应用于纹理图像检索 任务中. 实验结果显示, 从第六个特征开始, 散射统计特征在纹理图像的检索任务中就 会有较好的表现. 4. 在群不变散射变换的基础上提出新的有效的纹理特征提取方法: 散射统计特征(SSFs) 和散射共生特征(SCFs). 其中, 散射统计特征包括均值和标准差; 散射共生特征 包括聚类突显、聚类阴影、对比和局部均匀. 我们分别从原始图像和散射变换分解原 始图像的子带上来获取散射统计特征和散射共生特征, 再将这些特征应用在不同的纹 理数据集上进行分类实验. 实验表明, 我们提出的纹理特征提取方法在分类任务中能够 获得较为满意的结果.

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Lipschitz 连续性和平移不变性 多模态 Haar 散射学习 散射变换 散射共生特征 散射统计特征

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本文研究了具有分片Lipschitz连续系数的散度型椭圆方程解的内部 H2正则性估计,分别针对三种不同的区域进行了讨论： 第一种情形, 区域 是包含l+1个子区域的单位方体,这些子区域的边界是互不相交的平行超平面.首先利用变分方法给出方程的解关于x_1,x_2,...,x_n-1这n-1个偏导数在子区域上是H^1的，然后从方程本身出发将u_nn用u_i,u_ij表示出来，从而得到方程弱解的内部H^2正则性估计,接着利用迭代的方法得到了方程弱解的内部H^s正则性估计(其中s大于等于2是正整数). 第二种情形,区域 是n维空间中的单位方体, 包含的子区域的边界是弯曲的互不相交的 n-1维函数图象的情形.首先利用系数Lipschitz连续的散度型椭圆方程解的H^2正则性估计得到方程的解在每个子区域内部的H^2正则性估计然后利用合适的坐标变换分别把子区域的每个边界拉平, 将解在子区域的边界附近的H^2正则性估计问题归结为第一种情形中的问题最后,综合第一种情形的结论以及解在子区域内部的H^2正则性估计得到该情形下方程的弱解的内部H^2则性估计. 利用类似的方法还得到了方程的弱解的内部H^s则性估计. 第三种情形,区域D是n维空间中含有限个互不相交的子区域的有界区域的情形.先根据有限覆盖定理找到有限个小方体将区域D覆盖,这些小方体所包含的子区域的边界是有限个互不相交的n-1维函数的图象然后在每个小方体内考虑方程,这样就把该情形下解的内部H^2正则性估计问题归结为第二种情形中的问题,从而根据第二种情形的结果得到了该情形下方程的弱解的H^2正则性估计最后利用类似的方法我们也得到了方程的弱解的内部H^s正则性估计.

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散度型椭圆方程分片Lipschitz连续H2正则性Hs正则性

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带有补偿的两阶段随机规划模型由于其良好的灵活性及可操作性,倍受运筹学家及其它领域学者的关注.由于当前信息的不完备性及高维积分的难于计算性,使我们直接求解随机规划问题时面临巨大的困难,为此我们需要用一个简单易计算的规划来近似所要求解的随机规划问题.这就产生了近似问题的最优解和最优值是否能逼近原问题的最优解和最优值的问题.对于这个问题的回答具有重要的理论与应用价值,而且这也是随机规划稳定性问题所研究的内容, 也是本文所研究的主题,具体内容如下:首先, 我们研究了带有连续线性补偿的两阶段全随机规划问题.在给出了参数线性规划问题的有界可行解集的一个上界估计后,利用\,Hoffman\,常数,我们得到了约束矩阵和右端项均变化时其扰动可行解集的局部一致有界性.之后,我们建立了参数线性规划的可行解集在\,Hausdorff\,距离下的局部\,Lipschitz\,连续性.利用这些结论,我们建立了当带有连续线性补偿的两阶段全随机规划问题所涉及的概率分布发生扰动时,该问题的最优值函数和最优解集在\,H\"{o}lder\,意义下相对于\,Fortet-Mourier\,概率度量的定量稳定性.最后, 在该定量稳定性结论的基础上,我们导出了对应问题在经验分布下的收敛速率的估计.在风险分析中, 线性函数仅能刻画风险中性,对广泛存在的决策者的风险厌恶的态度的刻画则无能为力,而决策者的风险厌恶的态度是实际中应用随机规划的重要原因之一. 为此,我们研究了带有二次补偿的两阶段随机规划问题. 首先,在参数不定二次规划问题中所有系数均变动的情况下,我们证明了其\,KKT\,解集和最优值函数的局部\,Lipschitz\,连续性. 其次,我们给出了仅仅固定补偿矩阵时带有连续二次补偿的两阶段随机规划问题的稳定性.具体地,我们首先建立了第二阶段优化问题的最优值函数的局部\,Lipschitz\,连续性,进而,我们得到了第二阶段优化问题的最优值函数的期望函数关于第一阶段变量和第二阶段所涉及的概率度量的\,Lipschitz\,连续性.利用这些结果, 并借助于一般参数规划的结论,我们导出了该两阶段问题的定性稳定性 同时,当所涉及的概率分布发生扰动时, 通过选择合适的概率度量,我们得到了相应的定量稳定性. 最后,当第二阶段规划问题的所有的系数都为随机变量时,我们同样论证了其最优值函数的局部\,Lipschitz\,连续性,并在合适的概率度量下建立了带有二次补偿的两阶段随机规划的最优值函数和最优解集在\,H\"{o}lder\,意义下的定量稳定性.为了更好地刻画复杂的实际问题、拓广模型的适用范围,整数变量被引入到第二阶段优化问题的补偿变量中,这便导出了带有混合整数二次补偿的两阶段随机规划问题.我们研究了该类问题的稳定性. 首先,在仅有右端项和技术矩阵为随机变量的情形下,我们证明了对应的参数混合整数二次规划问题的最优值函数的局部\,Lipschitz\,连续性,并导出了其在整个定义域上的\,quasi-Lipschitz\,性质 同时,我们还论证了其最优解的\,quasi-Lipschitz\,性质. 运用这些结果,在适当的假设条件下,我们论证了第二阶段最优值函数的期望函数的多种连续性,由此得到了此类问题的定性稳定性. 其次,我们建立了带有混合整数二次补偿的两阶段随机规划问题目标函数的分片\,Lipschitz\,连续性,并进而导出了带有混合整数二次补偿的两阶段随机规划问题的定量稳定性.最后, 我们分别建立了右端项、技术矩阵和目标函数的线性部分都为随机变量和仅仅固定补偿矩阵两种情形下相应的定量稳定性.作为上述模型与结论的进一步拓展,我们在论文最后还研究了带有连续线性补偿的两阶段多目标全随机规划问题,并在\,G-真有效解意义下得到了其最优值函数和最优解集相应的定量稳定性.

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参数规划 带有补偿的两阶段随机规划问题 概率度量 局部Lipschitz连续 稳定性

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分数阶微分方程已广泛应用于各种物理和工程领域中的数学模型. 在此背景下, 判断一个分数阶微分方程是否有解, 解是否唯一, 解是否连续地依赖于初值, 以及如何求解分数阶微分方程就显得尤为重要了. 虽然, 众多学者们对这些问题展开深入研究. 但, 在现有文献中, 分数阶常微分方程初值问题的适定性大都采用压缩映射原理或者不动点定理来研究. 本文我们将借助奇异积分算子的性质和与之相关的积分不等式来讨论分数阶常微分方程初值问题的适定性. 常用的求解分数阶微分方程的方法有积分变换法, 化归为Volterra积分方程法, 复合法等. 然而, 这些方法一般用于求解含有常系数或者多项式系数的线性分数阶微分方程, 对形式稍加复杂的分数阶微分方程这些方法则无能为力了. 最后, 鉴于波形松弛方法在求解微分方程方面有独特的优势,本文将这种方法应用于求解分数阶微分方程, 从而为分数阶微分方程的数值计算提供了新的途径. 具体的研究内容和所得到的主要结论包括以下几方面.(一) 针对分数阶常微分方程的初值问题, 引入了一类奇异积分算子, 详细讨论了此算子的性质, 并建立了与此算子有关的一个积分不等式, 然后利用这些性质和不等式给出了所考察问题的适定性. 此外, 对于含有Riemann-Liouville分数阶导数的常微分方程的初值问题, 我们通过建立一个奇异积分不等式, 在加权连续函数空间中, 证明了解对初值的连续依赖性.(二) 针对含有变系数的线性分数阶常微分方程, 通过定义一种算子, 我们分别给出了齐次和非齐次方程的解的解析表达式. 特别地, 当方程的阶为1时, 所得到解的表达式恰好是常微分方程中的常数变易公式.(三) 针对定义在有限时间区域上的满足混合边界条件的多项时间-空间分数阶对流扩散方程, 我们给出了它的解析解.具体思路是先利用拉普拉斯算子的谱分解将多项时间-空间分数阶对流扩散方程转化为多项时间分数阶常微分方程, 然后利用Luchko定理求解分数阶常微分方程. 最后, 展示了这些解析解在实际问题中的应用.(四) 将波形松弛方法应用于求解分数阶常微分方程的初值问题,分别分析了线性问题和非线性问题的波形松弛方法的收敛性.对于有限时间区间上的线性问题, 波形松弛方法总是收敛的.而对于无穷时间区间上的线性问题, 针对于一些特殊的系数矩阵给出了波形松弛算子的谱半径表达式, 进而得到了特殊情况下的收敛条件, 最后构造了几种收敛分裂. 针对于非线性问题, 讨论了它的波形松弛方法在有限时间区间上的收敛性. 结论表明: 只要决定动态系统的函数是Lipschitz连续的, 那么非线性问题的波形松弛方法在有限时间区间上收敛.(五) 将波形松弛方法应用于求解分数阶泛函微分方程的初值问题, 给出了这种方法的收敛条件, 分析了泛函项对迭代误差的影响, 最后展示了数值模拟的结果. 除此之外, 利用单调迭代方法和上下解讨论了分数阶泛函微分方程的非负解, 并给出了构造初始上下解的方法.在论文的最后, 我们对所有工作进行了总结, 并提出了值得继续研究的课题．

Keyword ：

分数阶常微分方程分数阶泛函微分方程分数阶对流扩散方程适定性解析解波形松弛方法

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