Abstract ：

分数阶微积分是将传统的整数阶微积分推广到研究任意阶微积分的一个数学分支, 也是数学建模过程中重要的数学工具. 自上世纪八十年代以来, 大量分数阶微积分方向的研究学者指出: 通常情况下, 具有记忆或者遗传性质的材料与过程以及一些工程领域中的非经典现象几乎都可由分数阶微积分来刻画. 分数阶微积分已经在量子力学、分形和多孔介质中的弥散、水文学、电解化学、湍流、凝聚态物理、粘弹性系统、生物数学及统计力学、流变学及材料和力学系统、控制与机器人等许多学科领域中得到了大量应用. 分数阶微分方程一个最具有代表性的应用是对复杂系统~(有或无外力场的影响)中反常扩散输运过程的形象描述. 分数阶微分方程包含有分数阶扩散方程、分形扩散方程、分数阶对流扩散方程、 分数阶 Fokker-Planck 方程以及分数阶 Klein-Kramers 方程等等. 随着人们对分数阶微分方程越来越深刻的认识, 时空分数阶偏微分方程模型逐步 被建立起来. 然而, 由于分数阶微分算子是个拟微分算子, 具有非局部性(或记忆性)和弱奇异性, 并且通常情况下不满足半群性质、交换律等, 从而给时空分数阶偏微分方程的理论分析和数值计算都带来了相当大的困难. 因此研究这类方程解的性质和寻求有效的数值解法有着重要的理论和实践意义. 本文讨论时空分数阶次/超扩散型方程解的存在唯一性及其数值解. 本文第一部分是文章的第三章, 应用不动点理论研究了一类时空分数阶超扩散方程初边值问题解的存在唯一性. 第二部分包含第四、第五章, 分别考虑了时空分数阶次/超扩散方程以及时空分数阶非线性次/超扩散方程的数值求解, 主要工作是将 Xu 和 Hesthaven [124]利用 LDG 方法求解空间分数阶对流-扩散方程的思想拓展到时空分数阶次/超扩散模型的数值求解中. 主要研究成果如下: 一、不动点理论是非线性泛函分析理论的重要组成部分, 它是建立包含: 常微分方程、偏微分方程和泛函微分方程等许多方程解的存在唯一性的重要工具. 第三章受前人对分数阶常微分方程解的研究工作的启发, 结合 Schauder 不动点定理与Arzela-Ascoli 紧致定理, 证明了一类时空分数阶超扩散方程初边值问题在 Banach 空间 上弱解的存在唯一性. 本应用是作者基于不动点定理求解常微分方程解的存在唯一性等广泛工作基础上所做的首次推广. 二、局部间断 Galerkin 方法由于仅在局部单元独立构造方程的逼近格式, 不同的单元通过边界上的数值流通量函数来进行信息交换, 它无论是在基函数的选取上还是在区域网格的剖分方面都具有非常好的灵活性并且还能保证较高的精度. 本文第四章考虑以 Caputo 分数阶导数 或 为时间导数, 由 次幂的 Laplacian 算子定义空间方向分数阶导数的时空分数阶次/超扩散方程在齐次 Dirichlet 边界区域上的Galerkin 逼近解. 我们采用向后 Euler 差分 或二阶中心差分 方法离散时间 Caputo 分数阶导数, 结合局部间断 Galerkin 方法逼近空间分数阶导数, 分别获得了时空分数阶次扩散方程与时空分数阶超扩散方程的一种高精度的全离散局部间断 Galerkin (LDG)数值格式. 通过数学归纳法, 证明了两种数值格式都是无条件稳定且在 模意义下是收敛的. 相应的数值算例结果表明, 两种数值格式在空间方向均能达到最优的收敛阶, 在时间方向的收敛阶分别能达到理论上证明的收敛结果。 三、 本文第五章构造了时空分数阶非线性次/超扩散方程的全离散局部间断 Galerkin (LDG) 数值格式. 通过仔细慎重地选取边界上及非线性项的数值流通量函数, 应用数学归纳法证明了这两种数值格式的无条件稳定性以及在 模意义下的收敛性. 根据给出的数值实验结果可以观察到, 当 时, 我们的数值格式可以达到收敛阶 , 当 时, LDG 数值格式的收敛阶能达到 . 上述结果表明全离散局部间断 Galerkin 逼近是一种有效求解时空分数阶扩散方程的方法.

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Arzela-Ascoli 紧致定理 Schauder不动点定理 时空分数阶次/超扩散方程 —稳定性 误差估计

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近年来, 人们发现分数阶微积分在各种物理和工程领域中发挥着越来越重要的作用, 如反常扩散、材料、生物系统、控制理论、力学、信号处理、粘弹性系统等.与整数阶微积分相比, 分数阶微积分对于刻画各种带有记忆和遗传性质的材料 和物理过程更加合适. 因此对分数阶微分方程的研究具有十分重要的价值. 对于整数阶微分方程来说,相关数值算法和理论相对比较成熟, 而对于分数阶微分模型来说, 其相关的理论和算法研究才起步不久, 并且对于大多数分数阶微分方程来说, 其解析解的求解比较困难. 因此对于分数阶微分方程求解来说, 数值解的研究显得十分重要. 本文就是以此为动机展开相应的研究. 本文从四个方面讨论了分数阶偏微分方程的数值解法, 分别是采用紧致差分研究了一维分数阶反应扩散方程, 利用紧致~ADI~和有限元法研究了二维分数阶反应扩散方程, 通过修正的变分迭代法求解修正的~Riemann-Liouville~时间分数阶方程. 具体的研究内容和所得到的主要结论包括以下几方面.在第三章中, 考虑一维Caputo分数阶导数意义下的时间分数阶反应扩散方程(时间分数阶导数$0

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分数阶偏微分方程紧致差分法紧致ADI全离散有限元法修正变分迭代法

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利用Green函数可以将分数阶微分方程初值问题转化为等价的积分方程.近来此方法被应用于讨论非线性分数阶微分方程初值问题解的存在性.本文讨论菲线性分数阶脉冲微分方程初值问题,应用Green函数,将其转化为等价的积分方程,并设非线性项满足Carathéodory条件,利用非紧性测度的性质和M(o)nch,8不动点定理证明解的存在性.

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Caputo分数阶导数 Carathéodory条件 初值问题 非紧性测度 分数阶微分方程

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应用Green函数将分数阶微分方程边值问题可转化为等价的积分方程.近来此方法被应用于讨论非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性.本文讨论非线性分数阶微分方程边值问题,应用Green函数,将其转化为等价的积分方程,并设非线性项满足Carathéodory条件,利用非紧性测度的性质和M(o)nch,s不动点定理证明解的存在性.

Keyword ：

Caputo分数阶导数 Carathéodory条件 边值问题 非紧性测度 分数阶微分方程

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