Abstract ：

本文主要研究了无界锥体上边值为 0（不包括锥体的顶点）的散度型一致椭圆方程 正解解空间的结构，以及解在顶点和无穷远点的奇性和渐近行为，同时也对锥体上的内问题和外问题进行了研究。证明了顶点和无穷远点的 Martin 核函数是唯一的（在相差一个常数因子的意义下） ，且锥体上零边值的正解均可由这两个核函数线性表出。 首先，我们简单介绍了问题的背景，并给出内部孤立奇点和边界孤立奇点的研究 现状以及相关猜想。然后给出了本文最重要的工具——边界 Harnack 原理，简要介绍了Green 函数和 L 调和测度，利用 Green 函数的性质给出了 L 调和测度的一些基本性质，并用这些性质证明了一致椭圆算子在 Lipschitz 区域上的边界 Harnack 原理。 其次， 我们着重研究了解集的结构和解在奇点处的渐近行为。 首先利用推广 Kelvin 变换给出所研究问题的对偶形式，并建立两个问题的解集之间联系，从而达到将顶点和无穷远点的奇性相互转换的目的。然后利用边界 Harnack 原理证明顶点处两个不同核函数的比值为常数，进而得到解集的结构，并利用问题的齐次性和边界 H¨ older 估计得出 Martin 核函数的渐近行为，再次利用边界 Harnack 原理得到锥体上内问题的解可以由顶点处的核函数和一个在顶点处连续到边的解表出，对于外问题也得到类似的结论。最后用极值原理等工具对正解进行详细地分析，得出解空间的结构。

Keyword ：

Kelvin 变换 边界 Harnack 原理 孤立奇点 渐近行为 偏微分方程

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本文主要讨论了外区域的p-Laplace型自由边界在无穷远处的渐近行为。 首先我们给出自由边界问题的概念，描述了两类研究较多的问题——单（二）相自由边界问题和障碍型自由边界问题，介绍了由单相自由边界问题演化而来的p-Laplace型单相自由边界问题，同时给出了一些自由边界问题中自由边界正则性的研究成果以及暂未解决的问题。 其次我们提出p-Laplace型单相自由边界问题及其相关性质，包括解的存在性，Lipschitz连续性以及非退化性，类似于经典的情形，推导出其解所满足的自由边界条件。 最后我们提出本文主要研究的问题，研究了在二维情形下外区域的p-Laplace型单相自由边界问题的解在无穷远处的行为。在我们的研究过程中，我们假设了自由边界可以表示成一光滑函数的图像，以及通过简单变换，将其等价地转化为全空间上的自由边界问题以方便研究。针对等价问题的解，我们证明了解的Lipschitz 连续性和自由边界附近的非退化性，给出了变分解的概念，并构造了适合p-Laplace型自由边界问题的单调公式。结合单调公式，利用Blow-down技术证明了解u的Blow-down极限的一次齐次性，进而证明了它在二维情形下是半空间解。根据Blow-down 极限的这一性质，刻化了解在无穷远处的性质，即其自由边界在无穷远处是渐近平坦的，得到了我们的主要结果。

Keyword ：

p-Laplace 单相自由边界 偏微分方程 外区域 无穷远

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本文对定义在?? (?? ≥ 2) 维Euclid 空间上的??-Hessian 方程的解进行了研究. ??-Hessian 方程是一类非常重要的完全非线性偏微分方程. 微分几何中的许多问题都可以转化为解一般的??-Hessian 方程. 例如共形几何中的??-Yamabe 问题. 特别地, 当??= ??时, ??-Hessian方程即为Monge-Ampere方程. Monge-Ampere方程在许多问题中都有应用,例如微分几何中的Minkowski问题和Weyl问题,以及最优运输问题等等. 本文主要考虑了具有奇异右端项的??-Hessian 方程解的存在性和边界渐近行为. 关于解的存在性, 主要通过运用一个简单方程的解构造合适的闸函数并运用函数列逼近的方法证明. 关于解的渐近行为, 主要通过构造上下解并运用比较原理的方法得到. 此外, 本文还运用类似的方法得到了??-Hessian 方程的边界无穷大解的存在性和边界渐近行为. 具体如下: (一) 给出具有奇异右端项的Monge-Amp?ere 方程解的存在性及边界渐近行为. 首先, 在右端项函数??(−??)和??(??) 满足合适的条件下,证明了Monge-Ampere方程严格凸解的存在性,其等价于右端项只有??的Monge-Ampere方程凸解的存在性. 其次,在函数?? 和?? 满足更精确的渐近性条件下, 通过构造上下解并运用比较原理的方法得到解在边界的渐近估计. 证明中通过运用Karamata 正规变化理论得到了函数趋于零或无穷大的准确速度.这里??在边界可能趋于零,也可能趋于无穷大,减弱了之前文献要求??有正的上下界的条件.我们的结果实际上也是对右端有奇异的椭圆方程的Hopf引理的推广. (二) 将(一)中关于右端奇异的Monge-Ampere 方程的结果推广到??-Hessian 方程.首先,在右端项函数??(−??)和??(??)满足合适的条件下,通过运用右端只有??的??-Hessian方程的解构造闸函数及运用函数列逼近的方法证明了??-Hessian 方程粘性解的存在性.其次, 在函数?? 和?? 满足更精确的渐近性条件下, 通过构造上下解并运用比较原理的方法得到??-Hessian 方程粘性解在边界的渐近行为. 在验证构造的函数为上下解的过程中,我们运用Karamata正规变化理论得到了函数趋于零或无穷大的准确速度. (三) 给出??-Hessian 方程的边界无穷大解的存在性和边界渐近行为. 首先, 在右端 项??(??) 和??(??) 满足合适的条件下, 我们证明了??-Hessian 方程的边界无穷大的粘性解的存在性. 与Salani 运用径向函数构造闸函数的方法不同, 本文我们通过运用右端只有??的??-Hessian方程的解(在边界等于零)构造合适的闸函数的方法证明粘性解的存在性.其次, 若函数?? 和?? 在边界附近满足更精确的渐近性条件, 通过构造上下解并运用比较原理的方法,我们得到与Salani 和Huang Yong不同的解在边界的渐近行为.

Keyword ：

??-Hessian方程 Monge-Ampere 方程 存在性 渐近行为 奇异

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在这篇论文中, 我们考虑二阶完全非线性椭圆方程的外问题. 本文所谓的外问题, 包括外狄利克雷问题和外刚性问题, 前者是指给定边界条件和解在无穷远处的渐近性态, 研究解的存在唯一性, 而后者则是指给定函数满足方程, 研究它在无穷远处具有怎样的渐近性态. 我们所研究的外刚性问题有外伯恩斯坦问题和外刘维尔问题两种类型. 本文研究的具体方程主要涉及海森商方程, 特殊拉格朗日方程, 蒙日–安培方程, 二次海森方程和逆调和海森方程等几种完全非线性椭圆方程; 研究这些非线性方程的外问题对于一般偏微分方程的研究以及对于理解由相关方程所描述的几何问题和物理现象具有非常重要的价值. 我们的主要结果分为以下三个方面, 它们分别对应于本文第二至第四章的内容. (一) 海森商方程的外狄利克雷问题的解的存在唯一性定理, 这是第二章中的内容. 这个结果推广了先前文献中关于蒙日–安培方程和海森方程的相应结果, 并且把它们系统地组织在了海森商方程之下. 研究外狄里克雷问题的主要困难在于构造方程的满足特定条件的下解; 为了构造海森商方程的合适的下解, 我们首先引入几种新的与初等对称多项式有关的代数量, 然后我们使用这些代数量从原方程诱导出了一个常微分方程并且对它进行求解. 根据这些下解, 我们最终由佩龙方法证明了上述存在唯一性定理. (二) 特殊拉格朗日方程的外狄利克雷问题的解的存在唯一性定理, 这是第三章中的内容. 特殊拉格朗日方程要比海森商方程更为复杂. 除了在第二章中针对海森商方程使用过的技巧和方法之外, 我们也引进了一些新的同代数形式的特殊拉格朗日方程有关的多项式. 通过对这些多项式的研究, 我们从代数形式的特殊拉格朗日方程诱导出了一个常微分方程, 并且证明了它的解正好也是原始的三角形式的特殊拉格朗日方程的下解. 通过这些下解, 我们最终由佩龙方法完成了上述存在唯一性定理的证明. (三) 完全非线性椭圆方程的外刚性定理, 这是第四章中研究的问题. 外刚性问题的主要困难在于证明解的海森矩阵在无穷远处收敛. 在第四章开始部分, 运用极值原理, 克雷洛夫–萨弗诺夫型弱哈纳克不等式和埃文斯–克雷洛夫估计, 我们首先证明了解的海森矩阵在无穷远处收敛; 由此, 我们建立起了解的海森矩阵全局有界的一般形式的凸的完全非线性一致椭圆方程的外刘维尔定理; 以这个结果为基本工具, 我们先后得到了特殊拉格朗日方程的外伯恩斯坦定理, 以及二次海森方程和逆调和海森方程的外刘维尔定理, 并且也给出了蒙日–安培方程在外区域上的约尔根斯–卡拉比–波戈列洛夫定理的一种新的证明. 其中, 由于上述四种具体方程都是退化椭圆方程, 为了能够准确地运用上述关于一致椭圆方程的外刘维尔定理, 我们使用了以下方法将退化椭圆方程问题转化为一致椭圆方程问题: 蒙日–安培方程的波戈列洛夫估计, 特殊拉格朗日方程的莱维–袁旋转, 二次海森方程的勒让德–莱维变换, 和逆调和海森方程的勒让德变换等几种非线性变换和旋转方法.

Keyword ：

伯恩斯坦定理 存在性与唯一性 狄利克雷问题 海森商方程 刘维尔定理 蒙日-安培方程 黏性解 佩龙方法 特殊拉格朗日方程 外区域 预定渐近行为

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本文主要研究高维空间中的Matukuma方程 \begin{equation*} \D\frac{1}{r^{N-1}}\Big(r^{N-1}\phi'\Big)'=-\frac{r^{\lambda-2}} {(1+r^{2})^{\lambda/2}}\phi^p, \quad p>1, \lambda>0, N>3, \end{equation*} 的三类径向正解: 也即, M-solutions(当$r\to0$时, 解趋于无穷大), E-solutions(当$r\to0$时, 解是有界的), 和 F-solutions(解在远离$r=0$时是存在的). 过去的几十年中, 这三类径向正解已经被Ni, Li 和 Batt等科学家研究过. 例如, Batt和Li\cite{BL}在三维空间上已经建立了 一套有关这三类径向正解的综合理论. 对著名的Emden-Fowler方程 \begin{equation*} \D\frac{1}{r^{N-1}}\Big(r^{N-1}\phi'\Big)'= -r^{q-N}\phi^{p},\quad p>1,q>N-2,N>3, \end{equation*} 我们已知道这三类径向正解是存在的, Batt和Li证明这三类径向正解 对于三维空间中的Matukuma方程也是存在的. 在本文中, 我们 把三维空间中的Matukuma方程推广到$N>3$空间中, 并且证明高维 空间中这三类径向正解也是存在的, 而且建立相应的 关于这三类径向正解的存在性, 唯一性以及渐近行为等一系列性质. 本文的重点将放在对M-solutions的渐近展式的研究上. 事实上, 在高维空间中, M-solutions同样有着极其丰富的性质. 他们对应一种在$r=0$处是无穷大但是局部可积的更一般的模型. 在2.3.1小节, 当$q>(N-2)p$时, 其中$q := N-2+\lambda$, 我们发现 每个M-solution $\phi$都具有一种可分离的形式:$\phi=S+\Theta$, 其中$S$是奇异部分, $\Theta$是正则部分, 并且满足 \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} \D\frac{1}{r^{N-1}}\Big(r^{N-1}\Theta'\Big)'=-\frac{r^{\lambda-2}} {(1+r^{2})^{\lambda/2}}\Big(\Theta+S\Big)^p-\frac{1} {r^{N-1}}\Big(r^{N-1}S'\Big)',\quad 0<r<R, \\ \D\Theta(0):=\lim_{r\to0^+}\Theta(r)=\beta\in\mathbb{R}. \end{array}\right. \end{equation*} 为了得到M-solutions当$r\to0$时的渐近展式, 我们采用一种初始估计粗糙 但是能够逐步改进其精确性的直至达到所要求精度的逐步迭代的方法, 这种 方法已经被运到研究某些半线性方程在无穷大处的渐近行为上. 与三维空间中的情形相比, M-solutions的结构和相应的运算更复杂. 在三维空间的情形, 我们最多只需要展开3项, 但是在高维空间中, 我们最多需要展开$[\frac{N-2}{2}]$项. 为了克服这些困难, 在2.3.2小节与2.3.3小节, 我们选择正整数 $k_0\in\mathbb{N}$使得$2k_0\leq{N-2}<2(k_0+1)$, 在 2.3.4小节, 选择 正整数$k_0,m\in\mathbb{N}$使得$k_0\mu\leq{N-2}<(k_0+1)\mu$, $2m\leq\mu<2(m+1)$. 这样我们就能够得到M-solution更加精确的渐近展式. E-solutions是满足下面方程的解: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} \D \phi''+\frac{N-1}{r}\phi'+\frac{r^{\lambda-2}}{(1+r^2)^{\lambda/2}}\phi^p=0, \quad p>1,\lambda>0,N>3,\\ u(0)=\alpha. \end{array}\right. \end{equation*} 利用压缩映射原理, 我们能够建立这类 E-solution的存在性, 唯一性. 而且采用一种初始估计粗糙但是能够逐步改进其精确性 的直至达到所要求精度的逐步迭代的方法, 我们能够得到其在 $r=0$时精确的渐近展式. 最后, 根据解在无穷远处的渐近行为, 高维空间中的Matukuma 方程的径向正解解可以被分为所谓的跨越解, 快速衰减的解 以及慢速衰减的解. 为了本文的完备性, 我们将研究这三类不同正解的性质.

Keyword ：

Matukuma方程 Vlasov-Poisson方程 渐近展开 径向解 奇异解

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本文得到了自然对流问题基于牛顿迭代两重网格算法的残量型后验误差估计。相对于标准有限元一层方法的后验误差估计，牛顿迭代两重网格算法的后验误差估计多了一些额外项。通过研究这些额外项的渐近行为，本文得到了这些额外项在误差估计中所起的作用。对于牛顿迭代两重网格方法的最优粗细网格匹配尺寸，这些额外项的收敛阶不高于离散解的收敛阶。数值算例验证了理论分析结论。

Keyword ：

后验误差估计 两重网格有限元法 自然对流问题

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淬火问题是抛物方程解的奇异性的一个重要研究方面。这类问题在物理、化学、生物等学科有很强的应用背景。 半个世纪以来，已有很多学者研究了该问题。 目前，虽然对一些特定的模型已经有了较为系统的结果。 但是，至今此类问题的理论体系并不完整， 所以一些困难问题仍需深入研究。 本文主要考察了非线性抛物方程淬火解的渐近行为，侧重于解的淬火时间的估计。首先，考察了半线性抛物方程。通过构造辅助函数， 结合\,Sobolev、H\"{o}lder\,等不等式，利用能量方法可得解有限时间淬火的判断准则及淬火时间的上界。如果假设解有限时间淬火，则可得3维中方程解的淬火时间的下界。而且，通过数值算例验证结论的正确性。 其次，考察了半线性抛物方程的推广—方程组。通过构造辅助函数，结合\,$n\geq3$\,维 中的\,Sobolev\,不等式，利用\,Payne-Philippin-Schaefer\,方法可得解同时淬火时间的上下界，而且把空间由3维推广到了\,$n\geq3$\,维。 最后，为了得到更一般的结果，考察了\,$n\geq1$\,维中的方程：拟线性抛物方程。通过方程的正则化和\,Faedo-Galerkin\,方法，证明了弱解局部存在。再利用能量估计和\,Gagliardo-Nirenberg\,不等式，可得弱解全局存在且有限时间完全淬火。

Keyword ：

淬火 淬火时间 非线性抛物方程

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耦合振动是在工程和科学中非常重要的现象，无论是宏观，微观还是宇观问题中都会出现耦合的振子。对这些实际的振动，由于外界不确定性因素，或者热涨落的影响，在我们建立模型时，噪声是必须考虑的重要因素。本论文主要研究几类随机N -耦合振子的解的行为以及在耦合很大时的逼近性质，以及一类随机神经网络系统的随机耦合系统的随机稳定性。所取得的主要研究成果有：首先，我们分别研究一阶线性随机N -耦合振子和二阶线性随机N -耦合振子的渐近行为，以及它们在耦合强度足够大时的逼近性质。在新的一组基底下，我们将耦合的振子解耦为不相关的N 个微分方程。其中N-1 个方程是有唯一的稳定的平稳解，因此只需研究该平稳解的逼近即可。事实上当耦合趋向无穷时，平稳解的二阶矩趋向零，利用平稳解的Guassian 性质，这N-1 个振子在耦合趋向无穷时几乎必然趋向零。而剩下的一个方程，对于一阶系统，可以直接解出，从而可以得到整个系统的一维逼近。对二阶系统，我们通过构造R2 中一个新的内积，来导出方程的解，从而得到整个系统的一维逼近。其次，我们研究了一阶非线性随机N -耦合振子的渐近行为。同样对于一般的噪声，我们分别在Lipschitz 非线性和局部Lipschitz 非线性两种情形下，利用对解的直接估计，在耦合强度很大时，得到了系统的长时间行为的一维逼近。进而，在周期性假设下，我们证明了系统的旋转数的存在性，并给出旋转数在耦合很大时的逼近。对于加性噪声情形，我们利用随机不变流形的约化得到了系统的一维约化系统，并利用解的有界性估计给出了该一维约化系统在耦合很大时的逼近。接着，我们研究了二阶非线性随机N -耦合振子。对于一般噪声情形，我们分别在Lipschitz 非线性和局部Lipschitz 非线性两种情形下，利用对解的估计，在耦合很大时，得到了系统的长时间行为的逼近。对于加性噪声情形，我们利用随机不变流形的约化得到了系统的一维约化逼近系统。进而在周期性假设下，我们证明了系统的旋转数的存在性。上面的两个结果解决了一般噪声情形下无法用随机动力系统理论刻划耦合强度很大时系统的一维性态。最后，我们研究了一类特殊的随机N -耦合系统：随机神经网络系统。我们考虑了具有分布时滞和空间分布的神经网络系统。由于考虑空间的分布，该模型事实上是一个随机偏微分方程。利用非负半鞅收敛定理和M 矩阵方法，我们得到了系统的随机均方，均值和几乎必然的稳定性。

Keyword ：

随机耦合振子随机神经网络白噪声随机动力系统随机不变流形随机稳定性

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在天体物理研究中，Matukuma方程是描述稳态球状星群的重要方程，因此对于该方程解的结构研究可以加深对于稳态球状星群势能分布的理解。由于该方程解的复杂性，对该方程的研究贯穿了整个20世纪，直到如今尚未完全得到解决。本文的研究工作仅考虑Matukuma方程径向解的情况，研究表明，该方程的解可以划分为以下三种类型：E解（解在原点处正则的情形）、M解（解在原点处奇异的情形）、F解（解在原点外存在的情形）。如果按照解趋于无穷远处的渐近行为进行划分，又可以得到如下三种不同的分类：有限零解（解在有限远处达到零值）、快速衰减解、慢速衰减解。本文的重点在于Matukuma方程的F解的结构研究。为了研究上述方程的F解的结构，本文的主要手段是Pohozaev恒等式和Sturm–Picone比较定理的思想。文中，首先通过基本的数学计算，得到了关于Matukuma方程F解的一些基本性质，这些性质对于描述该方程解的性态起到了关键的作用。在引入了Pohozaev恒等式之后，将研究过程划分为两种情形分开进行证明。运用之前得到的F解的基本性质，可以得到该方程的任意F解与快速衰减F解在极值点取值不同的情形下交点存在唯一的事实，再进一步运用Sturm–Picone比较定理的思想，证明得到该方程快速衰减F解唯一的结论，最后运用Matukuma方程三种不同结构F解的性质，得出如下结论：Matukuma方程三种不同结构的F解（有限零解、快速衰减解、慢速衰减解）能够通过其极值点取值的不同被严格区分开，其中快速衰减解所对应的极值点取值可以作为另外两种不同结构F解的分隔点。文末还给出了Matukuma方程的进一步推广化方程，并指出在给定的假设条件下可以运用类似的方法给出该方程F解的结构分类。最后，本文还进行了简单数值仿真，能够帮助理解Matukuma方程F解的结构分类。

Keyword ：

Matukuma方程F解Pohozaev恒等式Sturm-Picone比较定理天体物理

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研究了一类具有流体动力阻尼项的波动方程的Cauchy问题.在初值的范数充分小的条件下,得到了整体解的存在性和解在Sobolev空间中的衰减性质.

Keyword ：

流体动力阻尼项 压缩映射原理 整体解

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