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分数阶微积分是将传统的整数阶微积分推广到研究任意阶微积分的一个数学分支, 也是数学建模过程中重要的数学工具. 自上世纪八十年代以来, 大量分数阶微积分方向的研究学者指出: 通常情况下, 具有记忆或者遗传性质的材料与过程以及一些工程领域中的非经典现象几乎都可由分数阶微积分来刻画. 分数阶微积分已经在量子力学、分形和多孔介质中的弥散、水文学、电解化学、湍流、凝聚态物理、粘弹性系统、生物数学及统计力学、流变学及材料和力学系统、控制与机器人等许多学科领域中得到了大量应用. 分数阶微分方程一个最具有代表性的应用是对复杂系统~(有或无外力场的影响)中反常扩散输运过程的形象描述. 分数阶微分方程包含有分数阶扩散方程、分形扩散方程、分数阶对流扩散方程、 分数阶 Fokker-Planck 方程以及分数阶 Klein-Kramers 方程等等. 随着人们对分数阶微分方程越来越深刻的认识, 时空分数阶偏微分方程模型逐步 被建立起来. 然而, 由于分数阶微分算子是个拟微分算子, 具有非局部性(或记忆性)和弱奇异性, 并且通常情况下不满足半群性质、交换律等, 从而给时空分数阶偏微分方程的理论分析和数值计算都带来了相当大的困难. 因此研究这类方程解的性质和寻求有效的数值解法有着重要的理论和实践意义. 本文讨论时空分数阶次/超扩散型方程解的存在唯一性及其数值解. 本文第一部分是文章的第三章, 应用不动点理论研究了一类时空分数阶超扩散方程初边值问题解的存在唯一性. 第二部分包含第四、第五章, 分别考虑了时空分数阶次/超扩散方程以及时空分数阶非线性次/超扩散方程的数值求解, 主要工作是将 Xu 和 Hesthaven [124]利用 LDG 方法求解空间分数阶对流-扩散方程的思想拓展到时空分数阶次/超扩散模型的数值求解中. 主要研究成果如下: 一、不动点理论是非线性泛函分析理论的重要组成部分, 它是建立包含: 常微分方程、偏微分方程和泛函微分方程等许多方程解的存在唯一性的重要工具. 第三章受前人对分数阶常微分方程解的研究工作的启发, 结合 Schauder 不动点定理与Arzela-Ascoli 紧致定理, 证明了一类时空分数阶超扩散方程初边值问题在 Banach 空间 上弱解的存在唯一性. 本应用是作者基于不动点定理求解常微分方程解的存在唯一性等广泛工作基础上所做的首次推广. 二、局部间断 Galerkin 方法由于仅在局部单元独立构造方程的逼近格式, 不同的单元通过边界上的数值流通量函数来进行信息交换, 它无论是在基函数的选取上还是在区域网格的剖分方面都具有非常好的灵活性并且还能保证较高的精度. 本文第四章考虑以 Caputo 分数阶导数 或 为时间导数, 由 次幂的 Laplacian 算子定义空间方向分数阶导数的时空分数阶次/超扩散方程在齐次 Dirichlet 边界区域上的Galerkin 逼近解. 我们采用向后 Euler 差分 或二阶中心差分 方法离散时间 Caputo 分数阶导数, 结合局部间断 Galerkin 方法逼近空间分数阶导数, 分别获得了时空分数阶次扩散方程与时空分数阶超扩散方程的一种高精度的全离散局部间断 Galerkin (LDG)数值格式. 通过数学归纳法, 证明了两种数值格式都是无条件稳定且在 模意义下是收敛的. 相应的数值算例结果表明, 两种数值格式在空间方向均能达到最优的收敛阶, 在时间方向的收敛阶分别能达到理论上证明的收敛结果。 三、 本文第五章构造了时空分数阶非线性次/超扩散方程的全离散局部间断 Galerkin (LDG) 数值格式. 通过仔细慎重地选取边界上及非线性项的数值流通量函数, 应用数学归纳法证明了这两种数值格式的无条件稳定性以及在 模意义下的收敛性. 根据给出的数值实验结果可以观察到, 当 时, 我们的数值格式可以达到收敛阶 , 当 时, LDG 数值格式的收敛阶能达到 . 上述结果表明全离散局部间断 Galerkin 逼近是一种有效求解时空分数阶扩散方程的方法.

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Arzela-Ascoli 紧致定理 Schauder不动点定理 时空分数阶次/超扩散方程 —稳定性 误差估计

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奇异摄动理论及方法是一门非常活跃和不断拓展的学科．目前，摄动方法已成为物理学、力学、化学、生物学以及各种工程技术科学中研究微分方程的基本工具之一，它在解决实际问题中功不可没．奇异摄动方法是一种渐近分析方法，它的主要思想是把一个困难的问题分解为无数个比较容易解决的问题，它的特点在于前几项（往往是前一、二项）就能够揭示解的重要性质，而以后的步骤只是给出很小的修正． Green函数法在求解常微分方程边值问题和偏微分方程边值问题以及初边值问题 中有着特殊重要的地位．Green函数法的优越性在于把具有任意非齐次项和任意边值的定解问题归结为求解一个特定的边值问题，它仅依赖于微分算子、边界条件的形式和区域的形状．一旦求得了相应的Green函数，就可以通过叠加原理给出原问题的解．并且，Green函数法与分离变量法和傅里叶变换法不同，它给出的解是有限的积分形式，十分便于理论分析和研究． 本文研究了一类奇异摄动问题—一维四阶常微分方程的奇异摄动问题和二维四阶微分方程的奇异摄动问题．在这两个问题中，小参数位于最高阶导数项，当小参数趋向于0时，方程退化．本文研究的二维四阶微分方程的奇异摄动问题的形式与含有二阶导数边界条件的一维四阶常微分方程的奇异摄动问题的形式一致，对于一维四阶常微分方程的奇异摄动问题首先利用变量代换法对方程进行降阶，求出含有二阶导数边界条件的一维四阶常微分方程的奇异摄动问题的解及其在边界上的一阶和三阶导数的结果．在此基础上，利用变量代换的方法展开对二维四阶微分方程的奇异摄动问题的研究，得到了二维四阶微分方程的奇异摄动问题的解，并且得到了当小参数趋于0时，其一阶导数和三阶导数在边界上任意一点的极限． 本文共分四章．第一章绪论，主要介绍了本文的选题背景、理论意义和应用价值以及该类问题的一些比较重要的研究成果等．第二章是预备知识，主要介绍奇异摄动的基本知识，Green函数、圆上的Poisson公式等．第三章利用变量代换法求出具有二阶导数边界条件的一维四阶奇异摄动问题的解，并求出当小参数趋于0时，其在边界上的一阶、三阶导数的极限结果．第四章利用降阶法将二维奇异摄动问题进行转化，并利用二维二阶奇异摄动问题的解和圆域上的Poisson公式，得到该问题的解，并分别求得了当小参数趋向于0时，其解在边界上任意一点的一阶导数、 的方向导数及三阶导数的结果．

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Green函数法 Poisson公式 奇异摄动

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工程实际中的许多间断问题,例如空气动力学中的激波问题,其数学模型大都是非线性双曲守恒律方程.本文在 Runge-Kutta 间断 Galerkin (RKDG)框架下,结合 h 型自适应方法处理了一维非线性守恒律方程初值问题和初边值问题.此方法不仅能准确描述间断的出现和位置,而且还能在间断附近适当加密网格,提高计算效率.最后,数值算例验证了算法的有效性.

Keyword ：

h自适应方法 间断 Galerkin 有限元 双曲守恒律方程

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在对透平机械的深入研究过程中，仅仅限于其内部流场的分析研究，已远远不能满足当前其行业的要求，透平机械的气动噪声问题已引起更多的关注，但由于声学问题的精确性与复杂性，发展高精度的数值方法就显得尤为重要。谱元方法结合了谱方法的高精度和有限元的思想，将其应用在求解计算气动声学问题中会有很大发展潜力。 首先详细地阐述了使用Chebyshev多项式作为基函数的谱元法求解波动方程的基本原理，并引入Clayton-Engquist-Majda无反射边界条件建立了气动声学模型，在空间上采用具有高精度的谱元法进行离散，时间上采用无条件稳定的Newmark方法进行推进，结合 Gaussian迭代解法的计算程序进行求解；然后，求解了具有解析解的Dirichlet 初边值问题和Gaussian扰动波算例，分别验证了谱元法的高精度和无反射边界的吸收精度；最后，将谱元方法应用到声源的气动干涉问题，分别计算了静止介质中以及均匀流场中的声源干涉问题，为更准确的描述真实声场提供了依据。 通过应用Microsoft Visual C++ 平台编制了模拟不同单声源及多声源声场的多组谱元算法程序，计算结果表明谱元法应用于计算气动声学具有良好的高精度和优越性，结合隐式Newmark时间积分法的谱元方法具有良好的稳定性，时间步长越小，计算精度越高。

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Chebyshev谱元法 高精度 计算气动声学 声源干涉 无反射边界

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透平机械的气动噪声问题越来越受到人们的关注，声流相互作用以及声致振动也会影响动力机械的强度和气动性能。因此，气动声学的研究对了解和认识气动声音产生和传播的机理有重要的学术意义，对降噪和静音设计等工程应用有重要和指导意义和价值。计算气动声学是研究气动噪声的主要方法之一。本文采用高阶精度的谱元方法重点研究了均匀流场中的声传播问题和管道声传播问题。首先基于线性化欧拉方程并结合Clayton-Engquist-Majda 无反射边界条件得到了均匀流场中的声学模型，然后在空间上应用具有高阶精度的谱元方法对控制方程进行离散，在时间上使用无条件稳定的隐式Newmark 方法进行推进，结合Gaussian 迭代解法完善谱元计算程序进行求解。通过对比Dirichlet 初边值问题的数值解和解析解，验证了算法和程序的精度和稳定性；通过对Gaussian 扰动波算例的模拟，分析了均匀流场对声传播的影响以及无反射边界条件的吸收精度；分别计算了静止介质和均匀流场中的单极子辐射声场和偶极子辐射声场的声压分布并和解析解进行了对比；最后模拟了管道声学模型下的声传播问题，并对结果进行了分析。计算结果表明，谱元方法的高精度特点结合隐式Newmark 时间积分方法的良好稳定性对于求解均匀流场中的气动声学问题是可行的并且是有效的。时间步长的选取不影响算法的稳定性，但小的时间步长可以提高算法精度；算法可以模拟和计算均匀流场作用下的扰动波和有源声场；无反射边界条件在静止介质中吸收精度可达3.36%，在均匀流场中吸收精度略低；对于刚性管道中的高频声波，反射波与原声场干涉并叠加形成复杂的声场，而对于低频声波，反射并不影响原声场的趋势和性质，符合线性声学理论。

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计算气动声学谱元方法马赫数吸收边界条件高阶精度

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该文首先提出了流面和流层的概念,然后推导出了半测地坐标系下流层内的三维NS(Navier-Stokes)方程,以及流面上的二维NS方程.通过引入流面上的流函数,得到了流函数方程的非线性初边值问题,并讨论了方程解的存在性和唯一性.基于以上讨论,提出了求解三维NS方程的维数分裂方法,并给出了算例.

Keyword ：

Navier-Stokes方程. 流层 流函数 流面 维数分裂

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随着现代科学技术的迅速发展，摄动理论由于其扮演着越来越重要的角色，引来了众多数学工作者的关注.此外，脉冲现象在现代科技各领域的实际问题中是普遍存在的, 其数学模型往往可归结为脉冲微分系统.脉冲微分系统最突出的特点是能够充分考虑到瞬时突变现象对状态的影响,能够更深刻、更精确地反映事物的变化规律.因此，有关摄动理论及其在脉冲微分系统中的问题研究在理论上和应用上都有非常重要的意义.在摄动理论中各种摄动方法是它的主要组成部分.到目前为止，国内外很多学者对摄动系统和摄动脉冲微分系统做了很多研究，并完成一些重要工作.本文在此基础上提出几种新的方法，并给出收敛性证明及解的存在、惟一性证明等.本文工作主要围绕以下几个问题展开：1.对于非脉冲微分动力系统，提出一种新的摄动方法--修正的波形松弛法.本文第二章首先用传统的、经典的摄动方法求解复杂的微分方程，得到其解析解. 进一步在传统方法的基础上，将波形松弛法中的迭代思想引入该系统，得到修正的波形松弛法，并证明该方法是收敛的.2.研究摄动脉冲常微分系统的一般解法. 本文第三章研究无限区间的摄动脉冲微分系统，将脉冲摄动微分系统与非脉冲摄动微分系统的解相互表示，把研究脉冲摄动微分系统的问题转化为研究非脉冲摄动微分系统的问题，再利用摄动理论来得到相应的结论.我们的结果，将原文献的结果推广到摄动系统，给求解摄动脉冲系统提供了一个更广阔的空间，得到一个一般的方法；本文第四章研究有限区间的摄动脉冲微分系统，在进行解的存在惟一性证明后，给出一种求解它的新方法--小区间法. 即，将给定区间分成一系列的小的子区间，对不同的区间用不同的方法求解方程，简单说，在边界层用匹配渐近展开法得到复合展开式；在其它区间用脉冲条件和初(边)值条件得到各个小的子区间的近似解析解. 并且用计算机绘图更清析直观地展现解的性态.3.本文第五章对摄动脉冲偏微分系统进行了研究. 研究了一类二阶线性摄动脉冲偏微分系统在有限区间的解法，即将小区间法引入该系统，进行了有益的探索，得到一些好的结论.

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波形松弛 初(边)值问题 迭代过程 动力系统 多尺度 脉冲微分系统 匹配渐近展开 摄动方法 收敛分析 小区间法

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研究了具有时滞反应扩散方程组的初边值问题,采用比较原理、解的存在性定理,得到了解的存在性和平衡态方程正解的全局渐近稳定性的充分条件.这个结果导致捕食-食饵系统的持久性、平凡解和所有半平凡解的不稳定性和不存在非一致平衡解.

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比较原理 捕食-食饵模型 反应扩散方程 全局渐近稳定性 时滞

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应用非线性微分方程刻划相互作用种群动力系统的思想可以追溯到1920年Lotka-Volterra的论著或更早 , 1930 年Fisher将扩散引入到种群遗传学中以刻划种群在空间的扩散现象, 1950 年初 Skellam 等人又将扩散引入到动力系统之中, 反应扩散方程的研究要追溯到 1970 年前后. 反应扩散方程有广泛的实际应用背景, 它的大量模型来源于生态、 物理、 化学等, 例如生态学中的 Lotka-Volterra 模型, Chemostat 竞争模型, 物理学中的 Navier-Stokes 方程和化学中的燃烧模型等.对于动力系统的研究, 数学所关注的是确定模型中各种参数的变化范围以研究种群的长时间行为. 研究系统解的长时间行为涉及正解的存在性, 解的爆破, 持久性, 最大吸引子和吸引区域的存在性, 解的稳定性, 解的渐近性等. 已有的工作主要是研究两个种群的反应扩散系统, 对于三种群或三种群以上相互作用的生态系统的研究却很少, 所存在问题还远没有解决. 本文着重研究了几类三种群或三种群以上反应扩散系统, 得到了一些有意义的结果.全文共分八章, 第一章介绍反应扩散方程的研究背景和意义, 目前的研究状况及本文的主要创新点. 第二章, 介绍后面各章要用到的基本概念和基本理论, 主要包括最大值原理, 上下解方法, 锥映象不动点指标, 最大吸引子, 爆破和分歧理论. 第三章至第七章论述本文的主要研究工作.第三章, 研究了Lotka-Volterra具有饱和项的互惠模型的平衡态系统, 分别讨论了一个和两个种群具有饱和项的情形. 利用正的紧线性微分算子的谱性质和锥映象不动点指标理论, 结合上下解方法和分歧理论, 得到了具有饱和项的互惠模型正解存在的充分条件.第四章, 论述了具有色散的反应扩散方程古典解的最大吸引子的存在性, 给出了吸引子的最大模估计, 这种估计式在Neumann边界条件下是最优的. 其次, 还证明了具有一致压缩矩形的反应扩散方程组古典解的最大吸引子的存在性, 同时还给出了最大模估计, 这些估计式揭示了该类方程组在全空间的最大吸引子实际上只需在某不变区域内构造. 第五章, 利用最大值原理和辅助函数方法, 讨论在两种情况下燃烧模型解的爆破集, 得到了在非对称情况下单点爆破以及在对称情况下整体爆破或两点爆破的结果. 另外, 利用上下解方法和比较原理, 讨论了一类在Dirichlet边界条件下, 四种群 Lotka-Volterra 互惠模型解的爆破.第六章, 考虑具有时滞的四种群食物链方程组, 研究了在一定条件下解的存在性和平衡态方程正解的整体渐近稳定性 研究了具有时滞的四种群捕食-被捕食模型初边值问题, 得到了解的存在性和平衡态方程正解全局渐近稳定性的充分条件. 这些结果也给出了系统的持久性、 平凡解和所有半平凡解的不稳定性和不存在非一致平衡解. 所用方法是上下解方法, 迭代序列和解的存在性定理等.第七章, 讨论了N种群的Lotka-Volterra捕食-被捕食模型解的收敛性和平衡态方程正解的存在性 给出了具有饱和项的Lotka-Volterra互惠模型周期解的存在性 得到了一般三种群的 Lotka-Volterra 竞争-互惠模型周期解的渐近行为. 本文的最后一章对全文做了概括性的总结, 并提出有待进一步研究的问题.本文的创新工作主要有三个方面:本文系统研究了几类多种群的 Lotka-Volterra 模型解的长时间行为. 例如具有时滞的四种群食物链系统解的收敛性, 具有时滞的四种群捕食-被捕食模型全局稳定性, 四种群 Lotka-Volterra 互惠模型解的爆破, 一般三种群的 Lotka-Volterra 竞争-互惠模型周期解的渐近行为和N种群捕食-被捕食模型解的性态. 这些属于反应扩散方程的热点问题.其次, 对于具有饱和项的两种群的互惠模型, 通过锥映象不动点指标理论和分歧理论, 证明了正解的存在性. 其基本思想是将拓扑度理论和非线性泛函运用到微分方程的理论研究, 体现数学各领域之间的相互影响与相互依赖. 最后, 深入地研究了两类重要的反应扩散方程. 通过半群理论和构造压缩矩形, 给出了具有色散的反应扩散系统古典解最大吸引子存在性 利用最大值原理和辅助函数, 研究了燃烧模型的爆破集.

Keyword ：

Lotka-Volterra 模型上下解方法反应扩散方程不动点指标最大吸引子全局渐近稳定性

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针对半导体材料中飘流扩散方程组初边值问题解的渐近性,提出了在Doping轮廓和适当的初值假设下,发展问题的光滑解能够以较快的收敛速度指数衰减到相应的平衡解,并证明了该问题的收敛性.证明中,通过估计二阶导数的L2范数去掉了压力函数需满足其一阶导数大于0、三阶导数小于0的假设条件,从而对非单调、非三阶光滑的压力函数同样适用.在常数Doping轮廓下,把单极情形下飘流扩散方程组初边值问题解的渐近性推广到双极情形.

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初边值问题 渐近性 飘流扩散方程组 整体光滑解

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