Abstract ：

复杂网络理论是应用数学的一个重要研究领域。随着人类社会网络化的快速发展，有关复杂网络同步的研究越来越受到国内外学者的广泛关注，所获成果在核磁共振仪、信号发生器、颗粒破碎机、激光设备、超导材料和通信系统等领域得到广泛应用。分数阶系统复杂网络和奇异动态系统复杂网络的同步是当前复杂网络理论中非常活跃的研究课题。为构建分数阶系统和奇异动态系统等复杂网络同步问题的统一研究框架，本文提出一种新的复杂网络模型，即具有时间记忆的奇异核积分微分系统复杂网络。本文还在对网络耦合结构的处理中提出耦合矩阵的实Jordan标准形分解方法，扩大对网络耦合类型的研究范围。本文主要工作如下: 1. 研究具有时间记忆的奇异核积分微分方程解的性质，利用不动点定理和非紧性测度方法得到解存在唯一且渐近稳定的条件，并分析积分微分奇异系统状态反馈控制问题，得到闭环正则稳定且无脉冲模的条件。 2. 对于线性耦合奇异核积分微分系统复杂网络的同步问题，利用耦合矩阵转置的实Jordan标准形对误差系统进行分解，实现误差向量解耦，并利用不动点定理和非紧性测度方法得到误差网络解存在唯一且渐近稳定的条件。 3. 研究奇异核积分微分系统复杂网络退化成分数阶系统复杂网络时的同步问题。对于分数阶线性系统复杂网络，根据导数阶的不同范围分别建立线性矩阵不等式形式的同步条件。当导数阶在1与2之间时，建立的充分条件揭示了导数阶对网络同步的影响。对于分数阶非线性系统复杂网络自适应牵制控制问题，利用分数阶非线性系统的类Lyapunov稳定性理论，得到网络同步的充分条件，与现有结果相比同步误差衰减更快，同步条件对网络耦合强度的要求更低。 4. 研究奇异核积分微分系统复杂网络退化成奇异动态系统复杂网络时的同步问题。利用Lyapunov稳定性理论和正则奇异系统分解方法，得到严格线性矩阵不等式同步条件，消除了已有结论中的等式约束和其他验证条件。对于复杂网络的应用，我们研究奇异动态系统复杂网络在闭曲线检测和最短路搜索中的应用，建立基于复杂网络同步技术的求解算法，在自动波传播过程中增加已检测节点记录和竞争机制，降低网络规模和迭代次数。 5. 研究奇异核积分微分线性奇异系统的二次指标最优控制问题，利用变分法原理和拉格朗日乘子得到最优控制存在条件。对于奇异核积分微分线性系统的一个特例—非正则线性奇异系统的不定号二次指标最优控制问题，利用受限系统等价变换把问题转化成正常状态空间系统的二次指标最优控制问题，并把系统状态分解成自由状态和受限状态，系统输入分解成自由输入和受迫输入，通过求解代数Riccati方程得到最优控制-状态对。

Keyword ：

复杂网络 积分微分方程 奇异核 同步 最优控制

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在计算流体力学中，以线性Stokes、Oseen方程和非线性Navier-Stokes方程描述的粘性不可压流体流动不仅能够刻画大气运动、海洋流动、轴承润滑等实际的流体运动规律，而且通过与其他方程的耦合能够描述石油经过砂层的渗流、动脉血管中的血液流动、污水处理中的曝气过程等实际的多物理多区域问题，因此，寻求这三个基本控制方程的有效数值求解方法是非常具有实际意义的。又考虑到工业应用问题求解区域的复杂性和不规则性，同时结合多边形网格各向异性、易于局部粗化和自适应加密、同等条件下计算规模较小且计算精度较高等优点，在克服多边形网格剖分（尤其是非凸、悬挂点等非常规网格剖分）上基函数构造、插值估计等难点的基础上，本文开始研究以粘性不可压流体为依托的、基于多边形网格剖分的新型数值方法——弱Galerkin有限元方法和非协调虚拟元方法，具体包括以下几个方面的内容： 首先，本文围绕弱Galerkin有限元方法展开研究，并考虑其在求解多边形网格剖分上Oseen方程和Navier-Stokes方程的具体实现过程。弱Galerkin有限元方法是根据分部积分公式，用弱算子代替传统的梯度、散度等算子，通过引进不依赖于参数的稳定项，来实现其在多边形网格剖分上任意近似精度的求解。对于Oseen方程，通过引进弱对流项的定义，构建出反对称形式的弱Galerkin有限元离散格式。并在定义合适三范数的情况下，不仅证明了该格式的稳定性，而且利用L2投影算子将变分形式和离散弱形式联系起来，给出速度和压力的最优收敛阶证明。同时，利用两个数值算例分别说明不同边界处理方式对结果的影响以及多边形网格剖分上方法的有效性；对于Navier-Stokes方程，通过类似地定义弱三线性项，实现线性问题到非线性问题的转变。并结合Brouwer不动点定理和类似的投影引进技巧，分别建立Navier-Stokes方程弱Galerkin有限元离散格式的可解性和最优误差估计。同时，从数值上比较了有无稳定项所引起的计算结果差异，说明了该方法高精度求解时的正确性及其对实际方腔驱动流模拟的有效性。 其次，本文围绕非协调虚拟元方法展开研究，并考虑其在求解多边形网格剖分上Stokes方程和Navier-Stokes方程的具体实现过程。非协调虚拟元方法将有限元的多项式离散空间扩展成一般的非多项式空间，并通过选取合适的自由度和可计算的H1和L2投影算子来避免基函数的显式表达，从而到达其在多边形网格剖分上任意近似精度的有效求解。对于Stokes方程，通过选取合适的右端项近似，构造出二、三维空间下统一的且仅利用自由度就可计算的非协调虚拟元离散格式。并在充分利用扩展空间性质的基础上，通过引入两个相关联的插值算子实现了离散inf-sup条件的证明。同时，结合离散双线性项的k-相容性和稳定性，证明了速度关于H1和L2范数、压力关于L2范数的最优收敛阶，并利用解析解算例和后台阶流模型分别验证了多边形网格上该方法任意近似精度的有效性和稳定性；对于Navier-Stokes方程，通过引入可计算的反对称离散三线性项，结合Brouwer不动点定理，构造出所需的稳定离散格式，并在应用Sobolev空间嵌入定理和三线性项误差估计的基础上，类似地给出速度和压力的最优误差估计，同样通过模拟真解与圆柱绕流问题对该方法处理多边形网格剖分的能力予以验证。 最后，本文以两种方法的实际工程应用为目标，围绕Beaver-Joseph-Saffman交界面条件的Stokes-Darcy问题开始介绍弱Galerkin有限元方法和非协调虚拟元方法的离散格式及其数值实现流程，不仅给出了弱梯度、弱散度、弱Galerkin稳定项和非协调虚拟元H1, L2投影、复合投影等算子和离散格式的矩阵计算，而且从数值上验证了两种方法的最优误差收敛阶，并在交界面网格不匹配的情况下，实现了两种方法在小渗透率的速度驱动流模型、间断渗透率的曲线交界面工业过滤模型以及不同进出口边界条件的现实地下水模型中的应用。

Keyword ：

Stokes-Darcy问题 多边形网格剖分 非协调虚拟元方法 粘性不可压流体 弱Galerkin有限元方法

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分数阶微积分是将传统的整数阶微积分推广到研究任意阶微积分的一个数学分支, 也是数学建模过程中重要的数学工具. 自上世纪八十年代以来, 大量分数阶微积分方向的研究学者指出: 通常情况下, 具有记忆或者遗传性质的材料与过程以及一些工程领域中的非经典现象几乎都可由分数阶微积分来刻画. 分数阶微积分已经在量子力学、分形和多孔介质中的弥散、水文学、电解化学、湍流、凝聚态物理、粘弹性系统、生物数学及统计力学、流变学及材料和力学系统、控制与机器人等许多学科领域中得到了大量应用. 分数阶微分方程一个最具有代表性的应用是对复杂系统~(有或无外力场的影响)中反常扩散输运过程的形象描述. 分数阶微分方程包含有分数阶扩散方程、分形扩散方程、分数阶对流扩散方程、 分数阶 Fokker-Planck 方程以及分数阶 Klein-Kramers 方程等等. 随着人们对分数阶微分方程越来越深刻的认识, 时空分数阶偏微分方程模型逐步 被建立起来. 然而, 由于分数阶微分算子是个拟微分算子, 具有非局部性(或记忆性)和弱奇异性, 并且通常情况下不满足半群性质、交换律等, 从而给时空分数阶偏微分方程的理论分析和数值计算都带来了相当大的困难. 因此研究这类方程解的性质和寻求有效的数值解法有着重要的理论和实践意义. 本文讨论时空分数阶次/超扩散型方程解的存在唯一性及其数值解. 本文第一部分是文章的第三章, 应用不动点理论研究了一类时空分数阶超扩散方程初边值问题解的存在唯一性. 第二部分包含第四、第五章, 分别考虑了时空分数阶次/超扩散方程以及时空分数阶非线性次/超扩散方程的数值求解, 主要工作是将 Xu 和 Hesthaven [124]利用 LDG 方法求解空间分数阶对流-扩散方程的思想拓展到时空分数阶次/超扩散模型的数值求解中. 主要研究成果如下: 一、不动点理论是非线性泛函分析理论的重要组成部分, 它是建立包含: 常微分方程、偏微分方程和泛函微分方程等许多方程解的存在唯一性的重要工具. 第三章受前人对分数阶常微分方程解的研究工作的启发, 结合 Schauder 不动点定理与Arzela-Ascoli 紧致定理, 证明了一类时空分数阶超扩散方程初边值问题在 Banach 空间 上弱解的存在唯一性. 本应用是作者基于不动点定理求解常微分方程解的存在唯一性等广泛工作基础上所做的首次推广. 二、局部间断 Galerkin 方法由于仅在局部单元独立构造方程的逼近格式, 不同的单元通过边界上的数值流通量函数来进行信息交换, 它无论是在基函数的选取上还是在区域网格的剖分方面都具有非常好的灵活性并且还能保证较高的精度. 本文第四章考虑以 Caputo 分数阶导数 或 为时间导数, 由 次幂的 Laplacian 算子定义空间方向分数阶导数的时空分数阶次/超扩散方程在齐次 Dirichlet 边界区域上的Galerkin 逼近解. 我们采用向后 Euler 差分 或二阶中心差分 方法离散时间 Caputo 分数阶导数, 结合局部间断 Galerkin 方法逼近空间分数阶导数, 分别获得了时空分数阶次扩散方程与时空分数阶超扩散方程的一种高精度的全离散局部间断 Galerkin (LDG)数值格式. 通过数学归纳法, 证明了两种数值格式都是无条件稳定且在 模意义下是收敛的. 相应的数值算例结果表明, 两种数值格式在空间方向均能达到最优的收敛阶, 在时间方向的收敛阶分别能达到理论上证明的收敛结果。 三、 本文第五章构造了时空分数阶非线性次/超扩散方程的全离散局部间断 Galerkin (LDG) 数值格式. 通过仔细慎重地选取边界上及非线性项的数值流通量函数, 应用数学归纳法证明了这两种数值格式的无条件稳定性以及在 模意义下的收敛性. 根据给出的数值实验结果可以观察到, 当 时, 我们的数值格式可以达到收敛阶 , 当 时, LDG 数值格式的收敛阶能达到 . 上述结果表明全离散局部间断 Galerkin 逼近是一种有效求解时空分数阶扩散方程的方法.

Keyword ：

Arzela-Ascoli 紧致定理 Schauder不动点定理 时空分数阶次/超扩散方程 —稳定性 误差估计

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在本文中，我们考虑三类流体-流体相互作用模型的解耦算法， 即两个 Stokes 方程通过非线性交界面传输条件耦合的系统， 两个 Navier-Stokes 方程通过一组线性交界面传输条件耦合而成的耦合系统，两个 Navier-Stokes 方程通过一组非线性交界面条件耦合而成的耦合系统． 对于这类通过交界面条件耦合的模型，针对定常和非定常系统，相应的解耦算法主要分为两种： (i) 两重网格解耦算法，(ii) 分裂时间步解耦算法. 我们主要关注的是解耦算法的最优误差估计以及算法的稳定性． 这些问题已经在文献 [27,28,45]中出现． 具体地说，我们得到了以下三个新结果． 第一，我们考虑两个 Stokes 方程通过非线性交界面传输条件耦合系统的有限元耦合算法以及两重网格解耦算法． 对于两重网格解耦算法，我们首先在粗网格中求解一个耦合模型；然后，在细网格中通过解两个解耦的 Stokes 问题来更新粗网格的解． 在对方程解的正则性做出假设前提下，对于耦合算法，我们得到了速度的 L^2 最优误差估计，速度的 H^1 最优误差估计以及压力的L^2最优误差估计．进一步，利用 Hahn-Banach 定理、负范数技巧、Sobolev 空间中一个延拓算子的性质以及关于耦合算法的误差估计的一些结果， 我们得到了对于两重网格解耦算法 速度的 H^1 最优误差估计以及压力的 L^2 最优误差估计． 几个数值实验也被给出用于证实我们理论分析结果的正确性． 第二，我们考虑两个 Navier-Stokes 方程通过一组线性交界面传输条件耦合系统的分裂时间步算法． 我们首先证明了该算法是无条件稳定的．在对方程解的正则性做出假设的前提下， 我们证明了速度的 L^2 最优误差估计 进一步，在一些时间步长的限定条件下，我们证明了速度的 H^1 误差估计是 O(\Delta t^\frac{7}{8}+h) 以及压力 L^2 误差估计是O(\Delta t^\frac{3}{4}+h)． 我们利用两个数值实验来验证本文中理论结果的正确性． 此外，相比于耦合算法，数值实验中显示出解耦算法的有效性． 值得指出的是本文中这些方法同样适用于其它一些简单的模型，例如：Stokes-Darcy 模型、 两个热传导方程通过线性传输条件耦合的系统． 并且这些新的结果相对文献 [28] 中给出的关于误差估计的结果与实际计算的结果更加符合． 第三，我们考虑了两个 Navier-Stokes 方程通过一组非线性交界面条件耦合而成的耦合系统的分裂时间步算法的稳定性． 这个问题首先是由 Connors， Howell 和 Layton 在文献 [45] 中提出． 第一步，在对方程的初始值， 右端项以及方程的弱解做一些假设的情况下，我们证明了解的一些能量估计． 第二步，我们给出系统的时间离散格式以及解耦算法 (分裂时间步的方法)． 利用 Brouwer 不动点定理证明了对于给定\mathbf{u}_h^{n}， 由解耦算法所生成的原问题的离散系统存在解 \mathbf{u}_h^{n+1}． 通过考虑解耦算法的误差估计,我们证明了在一定条件下算法在时间区间 [0,T] 是稳定的， 这里的 0\leq T\leq C<\infty ． 最后，我们证明了离散系统的解 \mathbf{u}_h^{n+1} 的唯一性．

Keyword ：

分裂时间步方法 交界面传输条件 两重网格方法 稳定性 最优误差估计

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本文对两类抛物型自由边界问题解的存在唯一性及解的有界性做了研究，分别给出了在高维情形下方程中带有超线性反应项的Stefan问题和具有固定梯度条件的自由边界问题径向对称解的存在唯一性及正则性估计，并给出了径向对称解存在的最大时间区间． 首先，本文在初始区域及初始值是径向对称的前提下，研究了带有超线性反应项的热传导方程的自由边界问题．文中先利用函数变换将自由边界转化为固定边界，进而将原自由边界问题转化为固定区域上的非线性抛物问题；然后通过构造适当的巴拿赫空间B并定义B上的压缩映射，利用不动点定理得到了原问题局部径向对称解的存在唯一性；又由嵌入定理及Schauder估计得到了局部解的正则性估计．进一步利用局部解的有界性和自由边界的单调性，给出了解存在的最大时间区间. 此外，本文给出了这类问题的比较原理形式． 其次，本文研究了满足热传导方程且自由边界条件是固定梯度条件的自由边界问题，在初始区域及初始值是径向对称的假设下证明了径向对称解的局部存在唯一性．文中先将原问题转化为证明一维非线性抛物方程自由边界问题解的存在性问题，并利用扰动问题逼近的方法证明了新问题极限解的存在唯一性；然后利用上下解的方法证明此唯一的极限解就是新问题的极小上解；在此基础上，根据先验估计在适当的假设下构造一个上解的集合K和一个元素(u,A)并证明(u,A)是集合K的极小元；进一步证明其就是新问题的局部古典解，因此原问题的唯一极限解就是其局部径向对称解．此外，本文证明了原问题的极限解u恒是径向对称解直到其退化为0.

Keyword ：

存在性 径向对称解 抛物方程 唯一性 自由边界

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在对可再生资源的开发和使用时，我们不仅需要确保自身的收益，更重要的是需要维持可再生资源的稳定性。而如何平衡自然资源的稳定性与自身的利益，研究可再生资源的最优控制问题就成了很多学者关注的问题。然而随着社会经济的发展等因素，人类对资源的需求越来越大，但由于对可再生资源认识的不足，造成了许多如资源短缺、环境污染等问题。在工农业污染的环境下，研究在污染环境中受毒素影响的可再生资源的最优控制问题十分必要。 本文主要研究在污染环境中互惠双种群可再生资源的最优收获问题。建立了三种不同的数学模型来分析预测种群的发展变化、经济效益，证明最优控制的存在性。 首先研究了一类在污染环境中受毒素影响的互惠双种群最优控制问题。我们对建立的系统进行了平衡点分析，全局稳定性分析，研究了毒素对种群的的影响，发现随着毒素浓度的增加，种群的密度也随之变小。并应用Pontryagin极小值原理研究了最优收获策略，最后用Matlab进行了简单的数值模拟及验证。 其次分别分析了在大容量环境和在小容量环境这两种不同的污染环境下，与年龄相关的受毒素影响的互惠双种群的最优控制问题。我们首先建立了数学模型，通过Banach不动点定理的应用证明了所建系统非负解的存在唯一性，证明了该状态方程的解对于控制变量是具有连续依赖性的，之后通过共轭系统的建立和法锥的特征刻画技巧推出了最优控制的最优性条件，最后应用Ekeland变分原理证明了最优控制的存在性。

Keyword ：

Pontryagin极小值原理 互惠双种群 年龄结构 污染环境 最优控制

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不可压Navier-Stokes 方程是刻画粘性流体的一类非线性方程. 不同的边界条件和 初值条件可以用来刻画不同流体的流动. 本文首先考虑带有非线性Friction 边界条件 的Navier-Stokes 方程, 其变分问题是第二类变分不等问题, 由于非线性的影响, 特别是 高雷诺数情况下, 研究其数值计算问题是比较困难的. 随后考虑带有非线性Friction 边 界条件且具有阻尼性质的Stokes/Navier-Stokes 方程, 由于阻尼项的影响, 其变分问题 是非线性很强的第二类变分不等问题, 本文主要研究这两类Navier-Stokes型变分不等 问题. 主要分为以下四个部分: 一、基于预估校正的基本思想, 提出了Navier-Stokes 变分不等问题的预估校正稳 定化有限元格式. 分析其稳定性结果, 并给出了初始步和第一步的误差估计, 在进行数 值试验时, 我们采用的是P1 ? P1 元, 并且从算例的结果上看, 该方法能够很好地计算较 高的雷诺数下的Navier-Stokes 变分不等问题, 比较了预估校正和预估校正稳定化两种 格式的数值结果, 从数值精度上看后者要好于前者. 随后, 提出了两重网格预估校正稳 定化算法: 即简单两重网格预估校正稳定化有限元格式和牛顿两重网格预估校正稳定 化有限元格式, 给出其稳定性和误差估计, 最后给出这两种两重网格方法的数值算例. 二、在变分多尺度有限元方法的基本框架下, 我们提出了Navier-Stokes 变分不等 问题的变分多尺度有限元格式. 分析了其稳定性结果, 并给出了误差估计, 在进行数值 试验时, 我们采用的是P2 ? P1 元, 并且从算例的结果上看, 变分多尺度有限元方法也能 很好地计算较高的雷诺数下的Navier-Stokes变分不等问题. 并且, 我们还提出了简单两 重网格变分多尺度有限元格式, 给出其稳定性和误差估计, 最后给出简单两重网格变分 多尺度有限元方法的数值算例. 三、研究了带有非线性Friction 边界条件且具有非线性阻尼性质的Stokes 问题, 给 出了该问题的变分不等形式, 验证了inf-sup 条件, 运用不动点定理证明了该变分不等 问题解的存在唯一性. 在此基础上, 分别研究了混合有限元方法和加罚方法, 前者研 究了离散格式解的存在唯一性和误差估计, 并且给出数值算例; 后者研究了带有非线 性Friction 边界条件且具有非线性阻尼性质的Stokes 问题的加罚问题, 以及其变分不等 形式, 证明了解的存在唯一性, 最后给出了离散格式的误差估计及数值算例. 四、研究了带有非线性Friction 边界条件且具有非线性阻尼性质的Navier-Stokes 问题, 给出该问题的变分不等形式, 证明了变分不等问题解的存在唯一性. 同研究非线性阻尼性质的Stokes 变分不等问题一样, 我们分别研究了混合有限元方法和加罚 方法, 前者研究了离散格式解的存在唯一性和误差估计, 给出几种迭代格式, 并且从 数值上加以比较; 后者研究了带有非线性Friction 边界条件且具有非线性阻尼性质 的Navier-Stokes 问题的加罚问题, 证明了其弱解的存在唯一性, 随后研究了加罚问题弱 解与原问题弱解的收敛性, 最后给出了加罚问题离散格式的误差估计及数值算例.

Keyword ：

Navier-Stokes方程 变分不等问题 变分多尺度方法 复杂粘性流体 混合有限元方法 加罚方法 稳定化方法

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分数阶微分方程已广泛应用于各种物理和工程领域中的数学模型. 在此背景下, 判断一个分数阶微分方程是否有解, 解是否唯一, 解是否连续地依赖于初值, 以及如何求解分数阶微分方程就显得尤为重要了. 虽然, 众多学者们对这些问题展开深入研究. 但, 在现有文献中, 分数阶常微分方程初值问题的适定性大都采用压缩映射原理或者不动点定理来研究. 本文我们将借助奇异积分算子的性质和与之相关的积分不等式来讨论分数阶常微分方程初值问题的适定性. 常用的求解分数阶微分方程的方法有积分变换法, 化归为Volterra积分方程法, 复合法等. 然而, 这些方法一般用于求解含有常系数或者多项式系数的线性分数阶微分方程, 对形式稍加复杂的分数阶微分方程这些方法则无能为力了. 最后, 鉴于波形松弛方法在求解微分方程方面有独特的优势,本文将这种方法应用于求解分数阶微分方程, 从而为分数阶微分方程的数值计算提供了新的途径. 具体的研究内容和所得到的主要结论包括以下几方面.(一) 针对分数阶常微分方程的初值问题, 引入了一类奇异积分算子, 详细讨论了此算子的性质, 并建立了与此算子有关的一个积分不等式, 然后利用这些性质和不等式给出了所考察问题的适定性. 此外, 对于含有Riemann-Liouville分数阶导数的常微分方程的初值问题, 我们通过建立一个奇异积分不等式, 在加权连续函数空间中, 证明了解对初值的连续依赖性.(二) 针对含有变系数的线性分数阶常微分方程, 通过定义一种算子, 我们分别给出了齐次和非齐次方程的解的解析表达式. 特别地, 当方程的阶为1时, 所得到解的表达式恰好是常微分方程中的常数变易公式.(三) 针对定义在有限时间区域上的满足混合边界条件的多项时间-空间分数阶对流扩散方程, 我们给出了它的解析解.具体思路是先利用拉普拉斯算子的谱分解将多项时间-空间分数阶对流扩散方程转化为多项时间分数阶常微分方程, 然后利用Luchko定理求解分数阶常微分方程. 最后, 展示了这些解析解在实际问题中的应用.(四) 将波形松弛方法应用于求解分数阶常微分方程的初值问题,分别分析了线性问题和非线性问题的波形松弛方法的收敛性.对于有限时间区间上的线性问题, 波形松弛方法总是收敛的.而对于无穷时间区间上的线性问题, 针对于一些特殊的系数矩阵给出了波形松弛算子的谱半径表达式, 进而得到了特殊情况下的收敛条件, 最后构造了几种收敛分裂. 针对于非线性问题, 讨论了它的波形松弛方法在有限时间区间上的收敛性. 结论表明: 只要决定动态系统的函数是Lipschitz连续的, 那么非线性问题的波形松弛方法在有限时间区间上收敛.(五) 将波形松弛方法应用于求解分数阶泛函微分方程的初值问题, 给出了这种方法的收敛条件, 分析了泛函项对迭代误差的影响, 最后展示了数值模拟的结果. 除此之外, 利用单调迭代方法和上下解讨论了分数阶泛函微分方程的非负解, 并给出了构造初始上下解的方法.在论文的最后, 我们对所有工作进行了总结, 并提出了值得继续研究的课题．

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分数阶常微分方程分数阶泛函微分方程分数阶对流扩散方程适定性解析解波形松弛方法

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p-Laplace方程的Aleksandrov-Bakelman-Pucci极大值原理(简称ABP极大值原理)是椭圆方程的一个重要方面，这一问题来源于现实生活，有很强的应用背景，它对研究偏微分方程具有重要的意义。在二十世纪六十年代，Aleksandrov，Bakelman和Pucci运用包络的方法分别建立了非散度形式的线性椭圆方程的极大值原理。关于p-Laplace方程，Roberto Argiolas，Fernando Charro和Ireneo Peral也运用包络的方法证明了ABP极大值原理，但是极大地限制了f的空间。若将f所属的空间扩大，这必将是对p-Laplace方程理论的丰富。 在本文中，我们利用障碍问题的解证明了p-Laplace方程的一种新的ABP极大值原理，此时f所属的空间扩大。首先，利用一些经典的不等式研究了关于一个函数的障碍问题解的一些基本性质。其次，在得到上述解的一些基本性质的前提下，我们应用p-Laplace方程的一些性质和Schauder不动点定理，证明了当一个函数是p-Laplace方程的下解时，关于这个函数的障碍问题的解是另一个相关的p-Laplace方程的下解。最后，依据前面的结论得出p-Laplace方程的一个新的ABP极大值原理。

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极大值原理p-Laplace方程障碍问题

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科学与工程中的许多问题都可以建模为约束最优化问题, 因此约束优化问题的可 解性研究具有重要的理论意义和应用价值. 周知, 约束条件既是对问题的限制, 也是问 题解的先验信息的表征. 梯度投影算子迭代方法就是融合这些先验知识为一体的一种 约束优化问题求解方法. 本文基于算子论的观点, 围绕分裂可行性问题和分裂公共不动 点问题等约束优化问题, 对梯度投影算子迭代的收敛性进行了系统研究, 发展了若干新 的迭代算法, 建立了相关收敛性理论. 本文主要工作及相关结果如下: (1) 关于梯度投影算子的迭代收敛性研究. 基于平均非扩张映射复合性质的推广, 通过弱化NST(I)条件, 以及利用Reich不动点定理, 分别证明了具有可变步长参数和固 定步长参数的梯度投影算子迭代的弱收敛性, 扩大了现有文献中对于松弛参数的选择 范围. 同时, 为获得梯度投影算子迭代的强收敛性, 基于粘滞迭代和杂交迭代思想, 提出 了两种新的梯度投影算子的迭代算法, 并在一般性条件下证明了两种算法的强收敛性, 所得结果改进和推广了现有文献中的结果. (2) 关于分裂可行性问题的迭代可解性研究. 针对单集分裂可行性问题, 充分利用 梯度投影算子的平均非扩张性, 分别建立了具有可变步长参数和固定步长参数的迭代 算法的弱收敛定理, 扩展了现有迭代算法松弛参数的选择范围. 综合现有迭代算法的优 点, 提出了新的强收敛于单集分裂可行性问题解的迭代算法. 针对多集分裂可行性问 题, 在一般条件下证明了可变步长参数和固定步长参数的迭代序列的弱收敛性, 将现有 迭代算法的松弛参数选择范围由(0 1)扩展到更大范围. 基于粘滞迭代和杂交迭代的思 想, 提出了求解多集分裂可行性问题的新算法, 并证明了所提算法的强收敛性. (3) 关于含半压缩映射的多集分裂公共不动点问题的可解性研究. 证明了循环迭代 算法和同时迭代算法的收敛性. 同时, 结合循环迭代和同时迭代的各自优点, 提出新的 迭代算法, 并证明了相应算法的收敛性. (4) 关于一般框架下约束矩阵方程和矩阵方程组的可解性研究. 基于第二章建立的 相关理论和方法, 对约束矩阵方程提出了三种迭代算法, 并给出了对称矩阵约束下相应 的具体算法格式. 对于矩阵方程组问题, 我们通过证明其解与某一公共不动点问题的等价性, 借鉴公共不动点问题的迭代算法, 提出了求解矩阵方程组的循环梯度迭代算法和 同时梯度迭代算法, 并证明了算法的全局收敛性, 通过数值实验, 验证了我们算法的有效性和鲁棒性.

Keyword ：

梯度投影算子分裂可行性问题多集分裂公共不动点问题矩阵方程

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